Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2013 номер 1

Настоящая работа является продолжением [1], где был предложен новый решающий алгоритм. Его функционирование напоминает действия искусственных нейронных сетей. Однако функционирование этого алгоритма основано на других принципах, в определении алгоритма не используются понятия сети, нейрона. Здесь доказана теорема обучения для нового алгоритма.

Рассматривается краевая задача для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Предложен способ решения этой задачи на основе линеаризаций Ньютона и Пикара с применением известной в линейном случае модифицированной схемы А.А. Самарского на сетке Г.И. Шишкина. Доказана равномерная сходимость построенных разностных схем со вторым порядком точности. Для уменьшения количества арифметических действий предложено использовать двухсеточный метод. Приводятся результаты численных экспериментов.

Рассматривается семейство алгоритмов внутренних точек. Алгоритмы предназначены для решения задач математического программирования с нелинейными ограничениями-неравенствами. При поиске направления улучшения решения используются изменяющиеся по итерациям взвешенные евклидовы нормы. Представлены результаты теоретического обоснования алгоритмов при некоторых предположениях (в том числе о невырожденности задачи).

Рассмотрена обратная задача определения начального условия в начально-краевой задаче для волнового уравнения по дополнительной информации о решении прямой начально-краевой задачи, измеренной на границе исследуемой области. Основная цель работы — построение численного алгоритма решения обратной задачи на основе метода простой итерации (МПИ) и исследование разрешающей способности обратной задачи в зависимости от количества и местоположения точек измерения дополнительной информации. Рассмотрены три двумерных постановки. Приведены результаты численных расчетов. Показано, что МПИ на каждом шаге итерации уменьшает значение целевого функционала, однако в силу некорректности обратной задачи разность между точным и приближенным решением обратной задачи сначала убывает, а затем начинает монотонно возрастать. Это обстоятельство отражает регуляризирующие свойства МПИ, в котором роль параметра регуляризации играет номер итерации.

Для численного моделирования процессов распространения сейсмических волн в трёхмерно-неоднородных средах с разномасштабными неоднородностями разработан конечно-разностный метод, использующий сетки с локальным пространственно-временным измельчением. Для описания вмещающей среды используется сравнительно грубая сетка (20÷30 точек на длину волны), в то время как мелкомасштабные неоднородности описываются на гораздо более детальной сетке (от 200 точек на длину волны). Все вычисления производятся с использованием компьютеров с параллельной архитектурой и основаны на трёхмерной декомпозиции расчётной области, когда каждый элементарный объём приписывается своему процессорному элементу. Используемые процессорные элементы формируют две группы — для вмещающей среды (крупная сетка) и скоплений мелкомасштабных неоднородностей (мелкая сетка). Взаимодействие групп организовано специальным образом, опирается на использование специальным образом выделенных мастер-процессоров и предусматривает согласование сеток. Приводятся результаты численных расчётов для реалистичных моделей карбонатных резервуаров, содержащих коридоры трещиноватости. Показано проявление ориентации этих коридоров в рассеянных волновых полях.

Разработан алгоритм поиска наилучших (в некотором смысле) кубатурных формул на сфере, инвариантных относительно группы вращений диэдра с инверсией D_6h . Проведены расчёты по этому алгоритму с целью определить параметры всех наилучших кубатурных формул данной группы симметрии до 23-го порядка точности n . При этом для n ≤ 11 найдены точные значения параметров соответствующих кубатурных формул, а для остальных n — приближённые, полученные путём численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом ньютоновского типа. В данной работе впервые систематически исследованы способы получения наилучших кубатур для сферы в случае группы, не являющейся подгруппой групп симметрии правильных многогранников.

В работе рассмотрена численная схема построения приближенных обобщенно-периодических решений сложной структуры неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической правой частью на поверхности тора. Показано существование таких решений, а также сходимость метода последовательных приближений. Приведены результаты вычислительного эксперимента.

В данной статье исследуются некоторые предобуславливатели типа (I+S), основанные на методе SOR (successive overrelaxation, последовательной верхней релаксации), с использованием неотрицательных матриц. Кроме того, мы доказываем монотонность спектральных радиусов итерационных матриц по отношению к параметрам в [12]. Дается сравнение некоторых расщеплений и предобуславливателей, которые получаются путем сравнения. Для иллюстрации наших результатов приводится численный пример.

Рассмотрено применение метода наименьших квадратов для численного решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с тождественно вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции. В работе обсуждается поведение градиентных методов для минимизации функционала квадрата невязки в пространствах Соболева и некоторые другие вопросы. Приведены результаты численных экспериментов.