Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2018 номер 1

27 декабря 2017 года исполнилось 65 лет Сергею Игоревичу Кабанихину, член-корреспонденту РАН, директору ИВМиМГ СО РАН, главному научному сотруднику лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН, заведующему кафедрой математических задач геофизики ММФ НГУ, известному специалисту в области теории и численных методов решения обратных и некорректных задач.

Исследуются особенности параллельных реализаций дискретной стохастической модели, имитирующей просачивание жидкости через вещество (почву), имеющее сложную пористую микроструктуру. Моделирование должно показать процесс движения жидкости по извилинам пор и заполнение каверн и колодцев. Дискретная стохастическая модель этого процесса, предложенная ранее, представляет собой стохастический клеточный автомат (СКА), функционирование которого задается набором элементарных локальных операторов, действующих в дискретном клеточном пространстве и имитирующих перемещения (диффузия, конвекция, адсорбция) и преобразования (реакция, фазовое превращение) абстрактных или реальных частиц. Микроуровень представления процесса требует больших размеров клеточных пространств и, следовательно, вычислений на суперкомпьютерах. Главная проблема при этом состоит в том, что получение приемлемой эффективности параллельной реализации возможно только путем внесения детерминированности в алгоритм вычисления, т. е. снижения стохастичности модели. Несмотря на интенсивное изучение и применение стохастических моделей, методы параллельной реализации их на суперкомпьютерах изучены слабо. В статье этот пробел частично заполняется результатами серии вычислительных экспериментов, позволивших оценить достоинства и недостатки возможных способов реализации стохастической дискретной модели процесса просачивания жидкости в пористую среду со сложной морфологией на многопроцессорном кластере.

Данная статья является продолжением статьи [12]. В этой, второй части, работы рассматривается модель Бакли-Остгуса формирования сети Интернет. Для сетей, порожденных этой моделью, проводятся численные эксперименты по вычислению вектора PageRank. Обнаруживается степенной закон распределения компонент этого вектора. Обсуждаются вычислительные аспекты этой модели в контексте описанных в первой статье [12] численных способов поиска вектора PageRank. Описаны более общая модель ранжирования web-страниц и подходы к решению задачи оптимизации, возникающей при обучении этой модели.

В этом коротком сообщении рассматриваются задачи выпуклой стохастической оптимизации при различных предположениях о свойствах стохастических субградиентов. Известно, что если вычислителю доступно значение целевой функции задачи, то можно параллельно вычислить несколько независимых приближений к решению задачи в терминах сходимости по математическому ожиданию. Выбрав приближение с наименьшим значением функции, можно контролировать вероятности больших уклонений невязки по значению функции. В данной работе рассматривается случай, когда значение целевой функции недоступно или требует большого объема вычислений. В предположении субгауссовости распределения стохастических субградиентов, а также в общем случае при умеренном уровне вероятности больших уклонений показано, что параллельное вычисление нескольких приближенных решений с последующим усреднением дает те же оценки вероятностей больших уклонений невязки по функции, что и вычисление одного приближенного решения, но с большим числом итераций. Тем самым в рассматриваемом случае параллельные вычисления позволяют получить решение того же качества, но за меньшее время.

Исследована обратная задача определения старшего коэффициента, зависящего от времени, по нелокальной дополнительной информации. Для приближенного решения нелинейной обратной задачи построен градиентный метод минимизации целевого функционала. Проведено сравнение с методом, основанным на линеаризованной схеме аппроксимации по времени. Приведены результаты численных расчетов.

В данной статье используется новая двухуровневая неявная разностная формула для численного исследования одномерного нестационарного бигармонического уравнения с подходящими начальными и граничными условиями. Предлагаемая разностная схема имеет второй порядок точности по времени и третий порядок точности в пространстве на неоднородной сетке, а в случае однородной сетки она имеет второй порядок точности по времени и четвертый порядок точности в пространстве. Приближенные решения вычисляются без использования каких-либо преобразований и линеаризации. Простота предлагаемой схемы - в ее трехточечной пространственной дискретизации, которая дает блочную трехдиагональную матричную структуру без использования фиктивных узлов для обработки граничных условий. Предлагаемая схема применима к сингулярным задачам, что представляет собой основную полезность нашей работы. Показано, что этот метод является безусловно устойчивым для модельной линейной задачи для однородной сетки. Эффективность предлагаемого подхода проверена на нескольких физических задачах, включая сложные нелинейные уравнения четвертого порядка, такие как уравнение Курамото-Сивашинского и расширенное уравнение Фишера-Колмогорова, где проводится сравнение с некоторыми более ранними работами. Численные эксперименты показывают, что полученные результаты не только хорошо соответствуют точным решениям, но также конкурентоспособны с решениями, полученными в более ранних исследованиях.

В работе изучаются всевозможные разностные схемы для уравнения переноса на косых шаблонах, т. е. схемы, использующие различные пространственные сетки на разных временных слоях. Такого рода схемы могут быть полезны при решении краевых задач с подвижными границами, при использовании регулярных сеток нестандартной структуры, например треугольных или сотовых, а также при использовании адаптивных методов. Для исследования устойчивости схем на косых шаблонах используются анализ первого дифференциального приближения и дисперсионный анализ. Анализируется смысл условий устойчивости с точки зрения ограничений на расположение элементов шаблона относительно характеристик уравнения, а также проводится сравнение результатов с геометрическими интерпретациями устойчивости классических схем. В работе представлены обобщения косых схем на случай квазилинейного уравнения переноса и приведены результаты численных экспериментов для них.

Рассмотрены алгоритмы решения обратной задачи идентификации источников для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений продукции-деструкции. Построены согласованные, в смысле тождества Лагранжа, численные схемы для решения прямых и сопряженных задач. На основе сопряженных уравнений построен оператор чувствительности и его дискретный аналог, связывающий возмущения искомых параметров модели с возмущениями измеряемых величин. Этот оператор позволяет получить семейство квазилинейных операторных уравнений, связывающих искомые величины и данные обратной задачи. Для решения таких уравнений можно применять методы ньютоновского типа. В работе приводится численное сравнение эффективности градиентных алгоритмов на основе согласованных и несогласованных численных схем, а также алгоритма Ньютона-Канторовича при решении обратной задачи идентификации источника в нелинейной модели Лоренца.

В статье рассматривается некоторый класс систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго порядка, связанный с задачей автоматического управления динамическим объектом с векторными входом и выходом. Рассмотрен численный способ решения, основанный на применении метода Ньютона-Канторовича. С целью проверки эффективности разработанных алгоритмов проведены серии тестовых расчетов.