Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2023 номер 2

В данной работе мы исследуем новый неявный метод решения некорректных линейных операторных уравнений первого рода с компактными операторами. Для демонстрации устойчивости и сходимости этой схемы может использоваться теория регуляризации. Кроме того, мы получаем результаты сходимости и эффективные критерии остановки в соответствии с принципом невязки Морозова. Для демонстрации верности нашего неявного метода и его применимости к задачам устранения размытости проводятся численные эксперименты.

Система уравнений линейной акустики является гиперболической и описывает процесс распространения акустических волн в деформируемой среде. Важным свойством используемых для её численного решения схем является высокий порядок аппроксимации. Оно позволяет проводить моделирование процесса распространения возмущений на достаточно большие расстояния. Не менее важным является свойство монотонности используемых схем, предотвращающее появление нефизических осцилляций решения. В настоящей работе представлены линейные квазимонотонные и гибридные сеточно-характеристические схемы для линейного уравнения переноса и одномерной акустической системы. Для их построения использован метод анализа в пространстве неопределённых коэффициентов, предложенный Холодовым А.С., и сеточно-характеристический критерий монотонности. Рассматривались широкие пространственные шаблоны, включающие от пяти до семи узлов расчётной сетки. На задаче об отражении продольной волны с резким фронтом от границы раздела сред с различающимися параметрами проведено сравнение полученных численных решений.

В этом исследовании мы вводим многошаговые методы коллокации (МШМК) для решения интегральных уравнений Вольтерра (ИУВ) типа автосвертки, такие что без увеличения вычислительных затрат порядок сходимости предлагаемых одношаговых методов коллокации будет увеличен. Анализ сходимости МШМК исследуется с использованием теорем Пеано для интерполяции, и приводятся два численных примера для демонстрации значительного преимущества МШМК.

Современные требования к точности в измерениях и инженерных моделях увеличивают число обусловленности задач. В то время как увеличение точности чисел с плавающей запятой привело к стабильным вычислениям, увеличилась неопределенность в вопросе сходимости при использовании невязки в качестве критерия остановки. Мы представляем анализ неопределенности сходимости при использовании относительной невязки в качестве критерия остановки для итеративного решения линейных систем, а также получаемое увеличение/уменьшение вычислений при заданной допустимой погрешности. Это показывает, что оценка ошибки важна для эффективного или точного решения, даже когда число обусловленности матрицы невелико. Формула оценки ошибки Ο(1) для итераций алгоритма CG была предложена более двух десятилетий назад. Недавно формула оценки ошибки Ο(κ²) была описана для алгоритма GMRES, который допускает также несимметричные линейные системы, где κ - номер итерации. Мы предлагаем небольшую модификацию этой оценки ошибки GMRES для повышения устойчивости. В данной работе мы также предлагаем формулу оценки ошибки Ο(n) для A-нормы и l₂-нормы вектора ошибки в алгоритме Bi-CG. Надежная работа этих оценок в качестве критерия остановки увеличивает экономию и точность вычислений по мере увеличения числа обусловленности и размера задач.

Рассматривается задача о двумерном теле с тонким дефектом, свойства которого характеризуются параметром разрушения. Проводится дискретизация задачи и доказывается теорема о точности аппроксимации. Для решения задачи применяется двойственный метод, основанный на модифицированном функционале Лагранжа. В вычислительных экспериментах при решении прямой задачи используется обобщенный метод Ньютона с выбором шага, удовлетворяющего условию Армихо.

Отношение между комплексными матрицами H и A, выражаемое равенством H A = ĀH , называется псевдоперестановочностью. Совокупность S_H всех A, псевдоперестановочных с невырожденной n × n-матрицей H, называется классом псевдоперестановочности, определяемым этой матрицей. Всякий класс S_H является подпространством пространства M_n(C), рассматриваемого как вещественное векторное пространство размерности 2n². В предположении dim_R S_H = n² найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы все матрицы из S_H могли быть овеществлены одним и тем же подобием.

В статье представлены формулы для точного вычисления погрешности аппроксимации кратных стохастических интегралов Ито на основе их ортогонального разложения. В качестве примера рассмотрены стохастические интегралы Ито кратностей 2-4, которые используются при построении численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений с порядками сильной сходимости 1-2.

В статье рассматривается вопрос о том, почему интервалы, являющиеся основным объектом интервального анализа, имеют именно тот вид, который мы хорошо знаем и привычно используем, а не какой-то другой. В частности, мы исследуем, почему традиционные интервалы замкнуты, т.е. содержат свои концы, а также чем плох пустой интервал. Второй вопрос, рассматриваемый в работе, заключается в том, насколько целесообразно расширять набор традиционных интервалов некоторыми другими объектами. Мы показываем, что неправильные («вывернутые») интервалы и арифметика таких интервалов (полная интервальная арифметика Каухера) очень полезны с самых различных точек зрения.