Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2019 номер 4

Ранее автором были получены дифференциальные законы сохранения для двумерного уравнения эйконала в неоднородной изотропной среде. Они представляют собой дивергентные тождества вида div F =0, векторное поле F выражается через решение уравнения эйконала (поле времен), показатель преломления (параметр уравнения) и их частные производные. Были также найдены равносильные законы сохранения (дивергентные тождества) для семейств лучей и фронтов в терминах их геометрических характеристик, т. е. был найден геометрический смысл полученных законов сохранения для двумерного уравнения эйконала. В данной статье представлены трехмерные аналоги этих результатов: дифференциальные законы сохранения для трехмерного уравнения эйконала и законы сохранения (дивергентные тождества вида div F =0) для семейств лучей и фронтов, где векторное поле F под знаком дивергенции выражается через классические геометрические характеристики кривых лучей: их орты Френе (единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали), кривизну и кручение, либо через классические геометрические характеристики поверхностей фронтов: их нормаль, главные кривизны, главные направления, гауссову и среднюю кривизны. Все результаты получены на основе общих векторных и геометрических формул (дифференциальных законов сохранения и других формул), полученных автором для семейств произвольных гладких кривых, семейств произвольных гладких поверхностей и произвольных гладких векторных полей.