Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2018 номер 4

12 октября 2018 г. исполняется 90 лет со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. А.С. Алексеев являлся ученым с мировым именем, ведущим специалистом в области теоретической и вычислительной геофизики, математического моделирования геофизических явлений и геоинформатики. В мировой научной общественности и отечественной промышленности имя А.С. Алексеева знаменует собой разработку и широкое внедрение новых математических методов решения фундаментальных научных проблем планетарного масштаба, начиная с изучения механизмов и прогноза землетрясений и цунами и кончая изучением последствий падения на Землю крупных небесных тел (астероидов, метеоритов, обломков комет и др.).

Получены численно-статистические оценки корреляционных характеристик и осредненных угловых распределений поля интенсивности излучения, проходящего через случайную среду. Сравнительные исследования проведены для элементарного пуассоновского и для «реалистического» поля оптической плотности среды. Полученные оценки подтверждают предположение о большой степени зависимости изучаемых величин от корреляционного масштаба и одномерного распределения поля плотности среды.

Известно, что решение полулинейного матричного уравнения X - A\overline X B = C можно свести к решению классического уравнения Стейна. Нормальный случай означает, что коэффициенты левой части полученного уравнения суть нормальные матрицы. Предлагается способ решения исходного полулинейного уравнения в нормальном случае, позволяющий для уравнений порядка n = 3000 почти вдвое сократить время вычислений по сравнению с библиотечной функцией dlyap, решающей уравнения Стейна в системе Matlab.

Сеточно-характеристический метод как средство численного решения волновых уравнений механики сплошной среды был изначально предложен и успешно применяется на периодических гексагональных расчётных сетках. Позднее была предложена его адаптация для непериодических треугольных и тетраэдральных сеток, и на сегодняшний день существует уже значительный опыт таких вычислений. Однако данный подход сталкивается с определёнными трудностями при расчёте функции в точках, принадлежащих свободным и контактным границам на некоторых конфигурациях сеток в областях со сложной геометрией. В статье обсуждаются ограничения метода, вызывающие эти проблемы, и предлагаются некоторые модификации, позволяющие улучшить качество его работы.

Рассматривается класс условно-коррректных задач в гильбертовом пространстве, характеризуемый гельдеровой оценкой условной устойчивости на выпуклом замкнутом ограниченном множестве. Исследуются метод квазирешений В.К. Иванова и его конечномерный вариант, связанные с минимизацией многоэкстремального функционала невязки на множестве условной корректности или на его конечномерном сечении. Для этих экстремальных задач устанавливается, что каждая их стационарная точка, не слишком далекая от искомого решения исходной обратной задачи, лежит в малой окрестности решения. Даны оценки диаметра указанной окрестности в терминах погрешностей входных данных.

В статье рассмотрены вычислительные алгоритмы, позволяющие преодолеть некоторые сложности при численном решении краевых задач теплопроводности в тех случаях, когда область решения имеет сложную форму или граничные условия отличаются от стандартных. Граничные контуры предполагаются заданными ломаными линиями (в плоском случае) или треугольниками (трёхмерный случай). Граничные условия и результаты расчётов представляются в виде дискретных функций, значения которых или их средние значения заданы в геометрических центрах граничных элементов. Граничные условия могут быть установлены на потоки тепла через граничные элементы, на температуру и на линейную комбинацию температуры и интенсивности потока тепла как на границе области решения, так и внутри неё. Решение граничной задачи представляется в виде линейной комбинации фундаментальных решений уравнения Лапласа и их частных производных, а также любых решений этих уравнений, регулярных в области решения, и значения функций, для которых могут быть вычислены на элементах границы области решения и на граничных элементах, расположенных во внутренних точках этой области. Если решение, участвующее в линейной комбинации, имеет сингулярность на граничном элементе, то рассматривается его среднее значение по этому граничному элементу.

Цель данной статьи - выполнить анализ локальной сходимости многошагового подхода типа Хомьера для аппроксимации решения нелинейных уравнений в банаховых пространствах, удовлетворяющего условию Липшица и условию непрерывности Гельдера. Условие Гельдера слабее условия Липшица. Кроме того, получена теорема существования и единственности и найдены границы ошибки. Представлены численные примеры для демонстрации важности теоретических дискуссий.

Предложен метод решения трехмерных внешних краевых задач для уравнения Лапласа, основанный на декомпозиции расчетной области на две подобласти, сопрягаемые без пересечения. Исходная краевая задача сводится к двум подзадачам: внутренней и внешней на сфере. Для сшивки решений на границе сопряжения подобластей (сфере) записывается специальное операторное уравнение, которое аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений. Данная система решается итерационными методами в подпространствах Крылова. Метод иллюстрируется решением модельных задач, подтверждающим работоспособность предлагаемого подхода.

В работе представлен аппроксимационно нейросетевой алгоритм решения обратных задач геоэлектрики в классе сеточных (блочных) моделей сред. Алгоритм основан на построении приближенного обратного оператора с помощью нейронных сетей и позволяет формализовано получать решения обратной задачи геоэлектрики с общим числом искомых параметров среды ~ n 10³. Рассматриваются вопросы корректности задачи построения нейросетевых обратных операторов. Вычисляются апостериорные оценки степени неоднозначности получаемых приближенных решений обратной задачи. Работа алгоритма иллюстрируется на примерах 2D, 3D инверсий синтезированных и полевых данных геоэлектрики, получаемых методом магнитотеллурических зондирований (МТЗ).