Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2021 номер 3

В работе исследуется задача управления сложным объектом, описываемым большой системой ОДУ блочной структуры с неразделенными между блоками краевыми условиями. Оптимизируемыми являются управления в правых частях уравнений и значения параметров источников в краевых условиях. Для решения задачи оптимального управления предлагается применить численные методы оптимизации первого порядка, использующие формулы градиента функционала, участвующие в полученных необходимых условиях оптимальности. Для решения прямой и сопряженной краевых задач, имеющих блочную структуру и неразделенные нелокальные краевые условия, предложены специальные схемы метода прогонки, учитывающие специфику систем ОДУ и краевых условий, позволяющие производить перенос краевых условий для каждого блока и каждого краевого условия в блоке независимо друг от друга. Приводятся результаты численных экспериментов, полученные при решении тестовой задачи, и их анализ.

Наиболее распространенным в настоящее время методом решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. Его недостатки общеизвестны: аппроксимируя перемещение кусочно-линейной функцией, мы получаем, что напряжения разрывные. Вместе с тем следует заметить, что большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения. Представляется актуальным разработать алгоритмы, которые учитывали бы эту гладкость. Идея таких алгоритмов принадлежит К.И. Бабенко. Эта идея высказана им в начале 70-х годов прошлого века. Многолетнее применение этой методики в эллиптических задачах на собственные значения автором настоящей работы доказало их высокую эффективность. Однако в этой методике матрица конечномерной задачи получается не симметричной, а только близкой к симметризуемой. Ниже, применением при дискретизации метода Бубнова-Галеркина, этот недостаток устраняется. Отметим, что симметричность матрицы конечномерной задачи важна при исследовании устойчивости. В отличие от классических разностных методов и метода конечных элементов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспоненциальное убывание погрешности.

Данная статья дает теоретическую основу для приложений фрактальных интерполяционных функций (ФИФ). Мы строим рациональные кубические сплайновые ФИФ (РКСФИФ) с квадратичным знаменателем, включающим два параметра формы. Элементы итерированной функциональной системы (ИФС) в каждом подынтервале идентифицируются соответствующим образом, так что график результирующей C¹-РКСФИФ лежит в заданном прямоугольнике. К этим параметрам, в частности, относятся условия положительности C¹-РКСФИФ. Проблема визуализации данных с ограничениями также рассматривается, когда данные лежат выше прямой линии; предлагаемая фрактальная кривая должна лежать на той же стороне линии. Мы проиллюстрируем нашу схему интерполяции некоторыми численными примерами.

Проведено экспериментальное исследование эффективности решателей 2D краевых задач на подсетках квазиструктурированных прямоугольных сеток. Под решателем понимается метод решения и его программная реализация. Рассмотрено три решателя: один прямой -- метод циклической редукции Бунемана и два итерационных: метод продольно-поперечных прогонок Писмана-Рэчфорда и метод последовательной верхней релаксации. Характерными особенностями проводимых исследований являются: 1) подсетки содержат малое число узлов, а именно: 8 х 8, 16 х16, 32 х 32, 64 х 64; 2) эффективность оценивается не только для одиночных расчетов, но и преимущественно для серий расчетов, в каждой из которых проводится несколько повторов решения задачи с различными граничными условиями на одной и той же подсетке. На основе серийных расчетов предложен комбинированный метод и даны рекомендации по использованию решателей.

Для численного решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей в работе предлагается рекурсивный вариант метода Крамера. Предлагаемая методика не требует дополнительных ограничений на матрицу системы, подобных тем, которые формулируются для метода прогонки. Приводятся результаты численных эксперименты, в рамках которых на большом наборе тестовых задач проводится сравнительный анализ эффективности предлагаемой методики и соответствующих алгоритмов.

В работе получено явное представление блока фильтров для построения вейвлетных преобразований пространств линейных минимальных сплайнов на неравномерных сетках на отрезке. Построены операторы декомпозиции и реконструкции, доказана их взаимная обратность. Найдены соотношения, связывающие соответствующие фильтры. Установлен факт разреженности матриц декомпозиции и реконструкции. Применяемый в работе подход к построению сплайн-вейвлетных разложений использует аппроксимационные соотношения в качестве исходной структуры для построения пространств минимальных сплайнов и калибровочные соотношения для доказательства вложенности соответствующих пространств. Преимуществами предлагаемого подхода, за счет отказа от формализма гильбертовых пространств, являются возможность применения неравномерных сеток и достаточно произвольных неполиномиальных сплайн-вeйвлетов.

В статье изучается задача об определении граничного условия в уравнении теплопроводности для композиционных материалов. Математически это сводится к уравнению теплопроводности в сферических координатах для неоднородного шара. Температура внутри шара считается неизвестной на бесконечном интервале времени. Для ее отыскания измеряется температура теплового потока в разделе сред в точке r = r ₀. В работе проведено аналитическое исследование прямой задачи, которое позволило дать строгую постановку обратной задачи и определить функциональные пространства, в которых естественно решать обратную задачу. Основная трудность, на решение которой направлена статья, заключается в получении оценки погрешности приближенного решения. Для оценки модуля условной корректности используется метод проекционной регуляризации, который позволяет получить точные по порядку оценки.

Строятся вычислительные схемы для приближенного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода, ограниченного на одном конце и не ограниченного на другом конце интервала интегрирования [-1,1]. Решение уравнения ищется в виде ряда по многочленам Чебышева третьего и четвертого родов. Ядро и правая часть уравнения разлагаются в ряды с применением многочленов Чебышева третьего и четвертого родов, коэффициенты которых вычисляются приближенно по квадратурным формулам Гаусса, т. е. с наиболее высокой алгебраической степенью точности. Для коэффициентов разложения многочленов Чебышева третьего рода в ряды по многочленам Чебышева четвертого рода и обратно найдены точные значения. Коэффициенты разложения искомой функции, т. е. решения уравнения, находятся из решения систем линейных алгебраических уравнений. Для обоснования построенных вычислительных схем используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. При выполнении условия существования у заданных функций производных до некоторого порядка, принадлежащих классу Гёльдера, оценивается погрешность вычисления и дается порядок ее стремления к нулю.