Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2023 номер 1

Представляемая работа посвящена построению областей устойчивости неявного метода первого порядка точности для интегро-алгебраического уравнения типа Абеля, содержащего жёсткие компоненты в решении. Проведены численные расчёты, подтверждающие полученные результаты. Для исследования устойчивости рассматриваемых математических объектов в статье предлагается согласованный с классическими результатами дробный аналог «жёсткой» задачи.

Исследуется вопрос численного дифференцирования функций с большими градиентами. Предполагается, что функция содержит составляющую, известную с точностью до множителя и отвечающую за большие градиенты функции. Применение к таким функциям классических формул для вычисления производных может приводить к существенным погрешностям. Исследуются специальные формулы численного дифференцирования на равномерной сетке, точные на выделенной погранслойной составляющей. Сформулированы условия, при выполнении которых оценка погрешности разностной формулы для производной не зависит от градиентов погранслойной составляющей. В случае экспоненциального пограничного слоя при вычислении производной произвольно заданного порядка получены оценки погрешности, равномерные по малому параметру. Приведены результаты численных экспериментов.

Для решения задачи оптимальной оценки интересующих нас величин по данным наблюдений и модели (задачи оптимальной фильтрации) в нелинейном случае может применяться метод частиц, основанный на байесовском подходе. Недостатком классического фильтра частиц является то, что данные наблюдений участвуют только при нахождении весовых коэффициентов, с которыми вычисляется сумма частиц при определении оценки. В настоящей статье рассматривается подход к решению задачи нелинейной фильтрации, использующий представление апостериорной плотности распределения оцениваемой величины в виде суммы с весами гауссовских плотностей распределения. Из теории фильтрации известно, что в случае, если плотность распределения представляет собой сумму с весами функций Гаусса, оптимальной оценкой будет сумма с весами оценок, вычисленных по формулам фильтра Калмана. В настоящей статье предлагается метод решения задачи нелинейной фильтрации, основанный на данном подходе. Для реализации алгоритма используется ансамблевый π-алгоритм, предложенный автором ранее. Ансамблевый π-алгоритм в предлагаемом новом методе применяется при получении ансамбля, соответствующего плотности распределения на шаге анализа. Он представляет собой стохастический ансамблевый фильтр Калмана, при этом является локальным, что позволяет использовать его в геофизических моделях высокой размерности.

Статья посвящена смешанному методу конечных элементов для уравнения ΔΔυ + κ²υ = ƒ, x ∈ Ω, с граничными условиями υ = ϑυ/ϑν = 0 на ϑΩ, где ν - нормаль к границе, а κ ≥ 0 - произвольная константа на каждом конечном элементе. При κ ≡ 0 апостериорные оценки ошибок посредством невязки были получены для смешанного метода Сьярле-Равьяра несколькими авторами с использованием различных норм ошибок. Оценки, называемые иногда апостериорными функциональными мажорантами ошибок, представляются менее зависимыми от постоянных в общих оценках аппроксимации и являются более гибкими и адаптируемыми для достижения более высокой точности при практической реализации. В этой статье мы представляем апостериорные функциональные мажоранты ошибок для смешанного метода Сьярле-Равьяра в случае коэффициента κ, отличного от нуля и имеющего большие скачки. Робастность и точность оценок подтверждаются нижними оценками локальной эффективности.

В статье изложена одна конструкция оригинального метода Harten-Lax-van Leer (HLL) для решения задач релятивистской гидродинамики с использованием кусочно-параболического представления физических переменных. Такое представление является оптимальным в части баланса алгоритмической сложности и диссипации между кусочно-линейным и кусочно-кубическим представлениями. Построенный численный метод позволяет воспроизводить решения с малой диссипацией на разрывах. Метод верифицирован на задачах о распаде разрыва в одномерной и двумерной постановках. На одномерных задачах о распаде разрыва исследован порядок точности построенной численной схемы. Метод также протестирован на характерных астрофизических постановках задач: взаимодействие релятивистских струй, столкновение облаков на релятивистских скоростях, взрыв сверхновой.

Рассматривается двумерное уравнение эйконала, описывающее распространение волновых фронтов цунами. В работе представлена пространственная форма начального источника волн, которая вызывает концентрацию волновой энергии вдоль береговой линии круглого острова. Теоретические результаты подтверждены численным моделированием динамики волны цунами в рамках модели мелкой воды.

Описывается реализация критерия адаптации в технологии построения трехмерных структурированных сеток, предназначенной для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики. Ранее в технологии построения сеток критерий был реализован в объeмах вращения и в объeмах вращения, деформированных другими объeмами вращения. Критерий адаптации реализован в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток, удовлетворяющих критериям оптимальности: близости сетки к равномерной, ортогональной и адаптации под заданную функцию. При реализации критерия технология дополнена новым способом расчета граничных узлов и алгоритмом построения допустимого множества для минимизации функционала, формализующего критерии оптимальности. Приводятся примеры расчетов сеток, адаптирующихся под заданную функцию и ее первые производные.

В статье рассматривается краевая задача математической физики, описывающая нестационарный процесс диффузии реагирующего газа к угольной частице сферической формы, находящейся в атмосфере горной выработки. Решение краевой задачи построено на базе автомодельных преобразований, являющихся частным случаем группового анализа. Получены формулы для определения концентраций реагирующего газа в окрестности угольной частицы и на ее поверхности. Построены графики зависимостей времени выгорания угольной частицы от ряда ее параметров и выявлены поля концентрации реагирующего газа на различных этапах горения угольной частицы.