Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2020 номер 4

Рассматривается некорректно поставленная задача локализации (определения положения) линий разрыва функции двух переменных при условии, что вне линий разрыва функция гладкая, а в каждой точке на линии имеет разрыв первого рода. Для равномерной сетки с шагом τ предполагается, что в каждом узле известны средние значения на квадрате со стороной τ от возмущенной функции и возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве L ₂( mathbb R ²). Уровень возмущения δ считается известным. Ранее авторами были исследованы (получены оценки точности) глобальные дискретные регуляризирующие алгоритмы аппроксимации множества линий разрыва зашумленной функции. При этом на линии разрыва накладывались достаточно жесткие условия гладкости. Основным результатом работы является усовершенствование методов проведения оценок точности локализации, что позволяет заменить требование гладкости на более слабое условие липшицевости. Также сформулированы более общие, по сравнению с предшествующими работами, условия разделимости. В частности, устанавливается, что предложенные алгоритмы позволяют получить точность локализации порядка O( δ ). Также приводятся оценки других важных параметров, характеризующих работу алгоритмов локализации.

В работе исследуется пиксельный метод построения множеств достижимости динамической управляемой системы. Получены достаточные условия на управляемую систему, при которых явный метод Рунге-Кутты второго порядка (модифицированный метод Эйлера) обеспечивает второй порядок точности относительно шага по времени при построении множеств достижимости, даже если разрывные функции входят в класс допустимых управлений.

Оценка состояния окружающей среды по математической модели и данным наблюдений производится с помощью процедуры усвоения данных. Ансамблевый фильтр Калмана -один из наиболее популярных алгоритмов усвоения данных в настоящее время. Важной составляющей процедуры усвоения данных является оценка не только прогнозируемых величин, но и параметров, не описываемых моделью. Однократная процедура уточнения по данным наблюдений в ансамблевом фильтре Калмана может не дать требуемой точности. В связи с этим все большую популярность получает метод ансамблевого сглаживания, в котором для оценки значений в заданный момент времени применяются данные из некоторого временного интервала. В работе рассматривается обобщение предложенного ранее алгоритма, представляющего собой вариант стохастического ансамблевого фильтра Калмана. Обобщенный алгоритм является алгоритмом ансамблевого сглаживания, при котором сглаживание производится для среднего по выборке значения и затем осуществляется трансформация ансамбля возмущений. Предлагаемая в работе матрица трансформаций используется для оценки как прогнозируемой величины, так и параметра. Важным преимуществом алгоритма является его локальность, что позволяет оценивать параметр в заданном регионе. В статье приводится обоснование применимости этого алгоритма для реализации ансамблевого сглаживания. С предложенным численным алгоритмом проведены тестовые расчеты с 1-мерной моделью переноса и диффузии пассивной примеси. Предложенный алгоритм является эффективным и может быть использован для оценки состояния окружающей среды.

В работе исследованы задачи уточнения неизвестных параметров математических моделей SEIR-HCD и SEIR-D распространения коронавирусной инфекции COVID-19 по дополнительной информации о количестве выявленных случаев заболеваний, смертности, коэффициенте самоизоляции и проведенных тестах для города Москвы и Новосибирской области с 23.03.2020. В SEIR-HCD модели популяция разделена на семь, а в SEIR-D -- на пять групп со схожими признаками и с вероятностями перехода между группами, зависящими от конкретного региона. Проведен анализ идентифицируемости математической модели SEIR-HCD, который выявил наименее чувствительные к дополнительной информации неизвестные параметры. Задачи уточнения параметров сведены к задачам минимизации целевых функционалов, которые решены с помощью стохастических методов (имитация отжига, дифференциальная эволюция, генетический алгоритм). Разработаны прогностические сценарии развития заболевания в Москве и Новосибирской области и проведен анализ применимости разработанных моделей.

Рассматривается решение проблемы построения нелинейных моделей (математических выражений, функций, алгоритмов, программ) на основе заданных экспериментальных данных, множества переменных, базовых функций и операций. Разработан метод метаэвристического программирования для синтеза нелинейных моделей, который использует представление хромосомы в виде вектора действительных чисел и позволяет применить различные биоинспирированные (природоподобные) алгоритмы оптимизации при поиске моделей. Получены оценки эффективности предложенного подхода с использованием десяти различных биоинспирированных алгоритмов (генетический алгоритм -- две модификации, алгоритм дифференциальной эволюции, алгоритм оптимизации роем частиц, алгоритм колонии пчел, алгоритм оптимизации на основе преподавания и обучения и его две модификации, эволюционная стратегия с адаптацией матрицы ковариаций, алгоритм поиска на основе теплопередачи) и проведено его сравнение со стандартным алгоритмом генетического программирования, алгоритмом грамматической эволюции и алгоритмом декартового генетического программирования. Проведенные эксперименты показали существенное преимущество предложенного подхода по сравнению с указанными алгоритмами как по времени поиска решения (более чем на порядок в большинстве случаев), так и по вероятности нахождения заданной функции (модели) (во многих случаях более чем в два раза).

Проведен анализ монотонности двухслойной по времени схемы CABARET, аппроксимирующей многомерный скалярный закон сохранения. Предложена модификация этой схемы, которая в линейном приближении сохраняет монотонность пространственно одномерных разностных решений и, как следствие, обеспечивает подавление нефизических осцилляций при расчете многомерных разрывных решений. Приведены результаты тестовых расчетов, иллюстрирующие преимущества модифицированной схемы.

В этой статье мы используем объединение естественного преобразования с методом разложения Адомиана для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с дробными производными по времени. Мы применяем предложенный метод для получения приближенных аналитических решений (1+ n )-мерного уравнения Бюргерса. Приведены иллюстративные примеры, которые показывают, что это очень эффективный и точный аналитический метод для решения нелинейных дробных уравнений в частных производных.

Для математической модели термодинамики моря, разработанной в Институте вычислительной математики РАН, рассматривается задача вариационного усвоения данных наблюдений с целью одновременного восстановления потоков тепла на поверхности моря и начального состояния модели. Исследована чувствительность функционалов от решения к данным наблюдений в рассматриваемой задаче вариационного усвоения и приведены результаты численных экспериментов для модели динамики Балтийского моря.